离散信号的频域分析——离散傅里叶变换DFT

编辑：首席新闻菌2022-10-23 13:10:15

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继续上一篇，本文对离散信号的频域分析（共5节）中的第3节——离散傅里叶变换DFT（Discrete- Fourier Transform）中的第4个问题：3.4 DFT性质中的后两个进行讲解。

3.4 DFT的性质

以下四个性质，上一篇中已经学习了前两个，本文对前后个性质——圆周共轭对称性、Parseval定理进行讲解。

3、圆周共轭对称性

这里不讲证明（教材上都有），重点讲怎么理解教材上让人眼花缭乱的公式。我们把“公式”翻译成“人话”。

首先说明一下，本文中所说的N点长序列，都指的是自变量取值范围为0~N-1，除此之外的区间，序列值为0。

先看第一个。

（1）共轭序列的DFT

时频域有这样一个基本对应关系——时域取共轭，对应频域自变量取负然后函数取共轭。具体到DFT呢？“自变量取负”也就是“反转”，而“DFT隐含着周期性”，所以这里的“反转”要加上“周期延拓，再取主值区间”，所以，公式及证明过程如下：

图1

时域取共轭，对应DFT是：先周期延拓，再反转，再取主值区间，最后取共轭。当然，第一步与第二步可以交换次序，取共轭可以放在任意步骤上。关键是理解这个操作用公式的三种描述方式（上图中画红线处）

第一种：X*((-k))NRN(k)，是最直观地展现上述过程的；

第二种：X*((N-k))NRN(k)，可以认为是利用其周期性（周期延拓得到的当然是以N为周期的啦），把-k换成了N-k；

第三种：去掉了双括号，也去掉了RN(k），好像看不出“周期延拓”和“取主值区间”的操作了。大家会心存疑虑，这个等号成立吗？

我们用下图的例子来说明一下这个等号成立，为了画图的方便，我们用函数值为实数的情况，图中是以n为自变量，换作k当然也是一样的。

图2

x(N-n)可以看作简写形式，优点在于形式简洁明了，缺点在于掩盖了周期延拓再取主值的过程。用这种简写形式，要注意一点，N点长序列x(n)，n的取值范围为0≤n≤N-1，也就是说，本来应该x(N)=0。但是，此处，当n=0时，x(N-n)=x(N)，不能认为x(N)=0，而要认为x(N)=x(0)。也就是说，要把x(n)的这N个点，认为是周期序列的主值区间，那么x(N)就是下一个周期的第一个点，所以x(N)=x(0)。

用这种简写形式来描述这个性质，就是：时域取共轭，对应的DFT，相当于把序号k与序号N-k做一个互换，然后取共轭。

下面，看这个性质的两个推论。

（2）第一个推论：实序列的DFT是圆周共轭对称序列。